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離散數學模型關聯度檢測方法設計與論證

時間:2020-07-20 來源:電腦知識與技術 本文字數:4664字
作者:姚永輝,陸雨 單位:河南師范大學新聯學院

  摘    要: 在大型工程計算分析當中,最難解決的是構建的計算數學模型與實際系統狀態的關聯問題,以及如何對離散數學模型進行修改。基于以上問題,設計離散數學模型關聯度檢測算法,構建出一個檢測離散數學模型關聯度的方法。通過對比實驗證明,設計的檢測方法能夠更加精準的檢測出離散數學模型的關聯度,且通過檢測方法對模型進行改進能夠得出與實際系統關聯度更高的最優模型。

  關鍵詞: 離散; 數學模型; 關聯度; 檢測;

  將一個實際的問題轉化為數學模型得到相應的理論方程時,其主要的目的是為了讓理論數學模型可以對實際問題進行具體的分析以及運算。離散數學模型的構建是在某一特定的前提條件下提出的,且在構建過程中不考慮其非線性問題的存在,僅僅利用線性完成對模型的構建[1]。伴隨著現代化科學技術的發展,人們對于客觀事實的計算能力已經得到了質的飛躍,因此具備了構建離散數學模型的能力,并且能夠通過數學模型做到對實際系統的模擬,以此可以在最大限度上,滿足實際工程中的應用需求。
 

離散數學模型關聯度檢測方法設計與論證
 

  1、 檢測算法設計

  1.1、 相空間重構算法設計

  在力學當中,相空間是一種抽象的數學空間。在動力系統當中,相空間是由一組一階方程構成,系統中每一個分量的改變都會與其他分量產生相互的作用[2]。在對離散數學模型的關聯度進行檢測時,最重要的一步是將檢測數據轉換為狀態矢量,即相空間重構。選擇同一時間間隔對數據進行采樣其時間序列可表示為:

  其中ti=t0+i△t,若將其嵌入到e維空間中,其表達式為:T

  公式(1)中,X(t)表示為在t時刻,數學模型的動態學性能;e表示為數學模型嵌入空間的維數;τ表示為數學模型的延遲時間。通過公式(1)的計算,可建立由相空間RE到對應的Re的映射。通過對相空間重構的結果進行分析,可以看出在數學模型中保留了其中原有的動力學性質以及幾何性質。因此可以說明,相空間的重構是時間序列當中的基礎。相空間重構的方法有很多,本文選用一種延遲坐標的方法對相空間進行重構。其重構的主要因素是利用對數學模型延遲時間τ和嵌入維數e兩個因素決定。選取延遲坐標完成對數學模型的重構,嵌入維數e表示為能夠完成在狀態轉移過程中構成的最小吸引子的維數大小。在進行實際檢測的過程當中,周圍環境產生的噪聲會對重構結果造成一定的影響,而時序中的噪聲水平越高越會對重構效果造成更大的影響。假設d表示為生成時序向量X(t)數學模型的一個分維數,在重構環境中存在噪聲的情況下,要保證重構的相空間e滿足e≥2d+1,該公式表示為嵌入維數大于吸引子維數適當的整數。因此通過上文研究,從數學角度上,證明了狀態空間重構的有效性。

  1.2、 動力系統算法設計

  在動力學系統當中,連續動力系統與離散動力系統有著十分密切的聯系,連續的動力系統可用干公式x(t)=F(x(t)),x(t)∈Rn表示,若對公式中的時間t進行離散操作,則該公式可等價于一個離散動力系統f,xt+1=f(xt),t-0,1,2,?,n,即xt+m=fm(xt),通常情況下,f為一個未知數。假設yt為一個系統狀態xt中的分量。h表示為Rn→R,則有yt=h(xt)。在通常情況下,可以通過計算動力系統的狀態xt其中的一個分量yt計算出原始系統的某一動力學狀態[3]。若被觀測的yt不屬于被計算系統中狀態總量xt中的一個分量,而是通過各個分量匯集成的線性組合,則可利用上述方法計算出原始動力系統中動力學的真實狀態。其原理在于,經過線性改變傳統系統,與原有的動力系統具有等價的拓撲結構,因此兩者在某一類型的動力形態上是完全相同的。

  設計一個具有較高準確性的動力系統,其所有可能出現的狀態集合為M,則初始狀態下,x0∈M,且系統在某一時刻t的狀態xt已經被x0和t所決定,因此有xt=F(t,x0),其中x0∈M,xt∈M,t∈(-∞,+∞),即xt是x0和t的函數。通過對其公式進行研究可以為后續數學模型的離散狀態的變化情況,找出與其相對應的變化規律。若此時的函數f(x)可逆,則說明,通過函數f(x)的逆映射也可追溯到系統的歷史狀態。由此可知,離散動力系統可看作是在對某一連續時間內的變化情況判斷系統對時間的離散數據采樣。

  2、 離散數學模型關聯度檢測方法設計

  2.1、 相空間重構參數設定

  通過對離散數學模型進行上述計算得出相應的響應數據,再將其與實際的結構數據對比,構建一個新的相空間,從而獲取到兩個序列結構的向量,通過對動力信息的數據進行提取以及對離散數學模型與實際結構進行關聯度分析,從而完成對離散型數學模型關聯度的檢測。數學模型數據序列的主要特征包括:在同一個動力系統當中,數據序列的響應能夠代表一個動力系統在某一特定的狀態,從理論角度分析該狀態屬于一個無窮的序列,但在實際檢測的過程中數據序列的數目是有限的。同時,該數據序列與數學模型的離散程度有著密切的聯系;其次,在數據序列當中,其本身隱藏著一個與該動力系統具有密切聯系的信息,并且在信息當中還含有大量的噪聲影響因素;在數學模型當中的向量與從數據序列中選擇的起始點有關,因此需要添加一步位移運算將其消除。

  對于一個數學模型的時間序列a1,a2,a3,…,an+(e-1),通過重構相空間算法,計算出引入恰當的嵌入維數和時間延遲,構成一個完整的矩陣或向量。其表達式為:

  公式(2)中,A表示為構造向量;e表示為嵌入維數;τ表示為時間延遲。通過該表達式對被檢測的數據固定時間進行延遲,從而構成一個多維度狀態的空間。通過不斷的重復提取出在不同時刻下各個延遲量,從而產生對e維相空間相點的變化軌跡。對數學模型的數據序列進行關聯度檢測方法流程設計圖,如圖1所示。

  圖1 關聯度檢測方法流程設計圖
圖1 關聯度檢測方法流程設計圖

  在對數學模型進行瞬態激勵作用下,動態響應的是數學模型整體的動態信息,因此維數要盡可能選用數值較大的,才能保證恢復其實際的動力系統信息,同時也可以有效保證數據模型數據的噪聲干擾以及結構系統動力學信號完整。

  2.2 、有限元結構動力分析方法設計

  有限元結構的基本前提是將連續的求解域進行離散處理,從而構成一個有限個數單元的組合體。通過構建的組合體,可以對數據模型的區域進行求解。而另一種方法,是利用每一個單元中的假設近似函數,將其表示為全部待求解的未知函數。離散數學模型的有限元分析可分為如下幾個步驟:

  第一步,對數據模型中的連續區域進行離散處理;

  第二步,根據數據模型中的數據樣本構造一個適當的插值函數;

  第三步,構建一個具有單元特性的矩陣,一個具有數學模型整體特性的矩陣;

  第四步,將整個數學模型的運行方程導出,其方程可表示為:

  方程(3)中,[M]表示為質量矩陣;[C]表示為阻尼矩陣;[K]表示為剛度矩陣;[P(t)]表示為整個數學模型的運行模式;

  第五步,通過計算,求出數學模型的運行方程。

  2.3、 有限元結構動力分析具體流程

  利用有限元結構動力分析方法對數學模型中的有限元動力響應進行求解,求解方法如下所示:

  在進行求解前,首先要在程序中構建一個全新的文件,并將其對應的初始參數設置為0,從而為后續的計算保留出足夠的計算空間和存儲空間。

  步驟1:在處理分析程序的初始模塊中,計算出數學模型中所有的有限單元,同時預設計算過程中的相關參數,再利用有限元結構動力分析軟件中的建模工具,構建一個與其相符的數學模型,對于造成數學模型影響不大的條件,例如載荷、約束等,進行適當的簡化。以所需分析的問題作為基礎,選取合適的網格劃分方法,對該數學模型進行劃分處理,在完成一系列操作后,退出該模塊;

  步驟2:在處理分析程序的計算模塊中,選取適當的求解方法以及分系類型,在預設合適的參數后,對其進行動態分析求解。待計算完成后,模塊會自動將結果進行保存,并存儲為以.modl格式的文件,退出計算模塊。再進入處理模塊,將計算結果引入到處理模塊當中,并判斷計算求得的數據與實際問題的數據頻率是否處于同一狀態,從而判斷分析結果的準確性;

  步驟3:再次進入程序中的計算模塊,并再次進行分系類型的選擇,此次計算選用狀態疊加方法,將需要進行分析的數學模型引入到計算模塊中,對其進行瞬態分析,計算出在具體時間內的積分步長,再對每一個載步進行加載處理,最終將結果輸入到載步文件當中,完成操作后退出計算模塊;

  步驟4:進入到程序中的處理模塊,選取合適的分析變量,并將計算獲取到的結果在列表中各進行顯示,或利用圖形顯示器判斷出數學模型與實際理論的結果關聯程度。最后將結果進行保存,方便后續的使用,退出后處理模塊。

  2.4 、振動測試

  對數學模型進行振動測試,主要是通過傳感設備、放大設備以及相應的數據記錄設備,檢測數學模型在進行一系列機械或工程時,當受到外界影響的激勵作用下,重點部位的位移、加速度等運動量的變化情況,從而更加準確地獲取到數學模型中各結構的具體工作運行情況。利用振動測試技術對離散數學模型進行關聯度檢測主要包括:數學模型運動量的測量,例如位移、速度、加速度等;對數學模型動態特性參數的測量,例如固有振型、固有頻率、阻尼系數等。

  振動測試技術主要分為兩種,一種是對模型進行單點激勵,獲取多點測量數據;另一種是對模型進行多點激勵,獲取多點測量數據。由于多點激勵方法在實際的檢測中存在儀器設備價格高昂、測試周期過長等問題,因此本文主要選用單點激勵的方法進行測試。

  單點激勵振動是利用單位脈沖函數對被檢測的數學模型進行激勵,儲蓄時間t→0,是一種具有快速對關聯度進行檢測的技術方法。由于其檢測設備靈活性更強,因此更加方便對數學模型的振動問題進行在線或實時的處理。在對數學模型進行采集以及后續的分析過程中需要重點關注的是,在時間序列中,包含了兩個不同的時間常數,一種是在采集過程中的間隔時間常數τ,一種是采集結束后,總的采集時間Nτ,由這兩個時間常數的倒數分別決定著兩個特征頻率,頻率表達式為:

  公式(4)中,fmax表示為對數據進行采樣時能觀測到的最大頻率;fmin=△f表示為頻率差值。為了在實驗檢測的過程中,能夠反映出高頻中包含的所有具體成分,因此在采樣時要盡可能縮短采樣的間隔。對于規模較小的數學模型而言,為了減少傳感器對模型造成的影響,通常可以采用單點測量多點調試的方法,對模型關聯度進行檢測。

  3 、實驗論證分析

  為了驗證本文設計的離散數學模型關聯度檢測方法的有效性,將其與傳統檢測方法進行對比實驗。選用同一組數學模型,利用兩種方法對其關聯度進行檢測,并通過檢測結果設計出最優的數學模型,并繪制兩個數學模型的響應頻域圖,如圖2所示。

  從圖2中可以看出,通過本文檢測方法構建的數學模型響應頻域明顯比傳統方法構建的數學模型響應頻域更加劇烈,因此可以說明,本文檢測方法構建的數學模型與實際系統關聯度更高,因此通過本文構建的離散數學模型關聯度檢測方法能夠更加精準的檢測出模型的關聯度,利用檢測結果能夠構建出與實際系統相符的最優模型。

  圖2 兩組數學模型響應頻域圖
圖2 兩組數學模型響應頻域圖

  4 、結束語

  本文設計的離散數學模型關聯度檢測方法具有更好的動態分析能力,將相空間重構的方法融入數據分析當中,能夠有效提高檢測方法的準確率。但存在的問題在于,空間矢量之間的距離較大,且對數學模型的優化提出的指導性建議略少,因此在日后的研究中還將對這一方面的問題進行更加深入的研究分析。同時,本文研究的離散數學模型關聯度檢測方法是針對單一結構的數學模型,但在實際的工作情況中,較為常見的是結構相對復雜的多結構組合的數學模型,并且由于模型的連接方式的不同也會對分析造成一定的影響,因此這一問題也是日后需要重點研究的。

  參考文獻

  [1]祝志博,趙陽,顏偉,等.基于離散數學模型的時域EMI接收機檢波器建模研究[J].南京師范大學學報:工程技術版,2018,18(4):1-8.
  [2]宮明明.計算機算法設計及數據結構離散性[J].電子技術與軟件工程,2018(3):197.
  [3]周曉峰,車潁濤.基于偏微分分類數學模型的關聯挖掘改進技術[J].現代電子技術,2017,40(8):36-38.

  原文出處:姚永輝,陸雨.離散數學模型關聯度檢測方法研究[J].電腦知識與技術,2020,16(06):261-263.
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